Математика
Часть 4 (Теория вероятностей и математическая статистика)
Домашнее задание (раздел 3) - тест решен на 89%
+
Домашнее задание (раздел 4)
Пример Домашнее задание Раздел 3:
1. Дана выборка: 5, 4, 4, 2, 4, 7, 4, 5, 6. 4. Найти выборочное среднее.
3. Дана выборка значений случайной величины: 18.3 15.5 24.5 24.7 18.0 13.3 15.4 10.1 23.1 19.3 5.7 11.6 14.3 -4.5 20.3 32.3. Найти исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.
4. Пассажир, приходящий в случайные моменты времени на автобусную остановку, в течение пяти поездок фиксировал свое время ожидания автобуса: 5,1; 3,7; 1,2; 9,2; 4.8 (мин). Известно, что автобус ходит с интервалами в т минут. Оценить т методом наибольшего правдоподобия
5. Дана выборка значений случайной величины X, распределенной по нормальному закону:
6. Дана выборка значений нормально распределенной случайной величины: 18.3 15.5 24.5 24.7 18.0 13.3 15.4 10.1 23.1 19.3 5.7 11.6 14.3 -4.5 20.3 32.3. Найти доверительный интервал для математического ожидания при доверительной вероятности 0,95.
7. Дана выборка значений нормально распределенной случайной величины: 8.0 -1.1 13.5 10.0 2.4 4.1 20.0 12.4 13.4 4.8 7.8 0.0 10.9 13.7 6.6. Найти доверительный интервал для среднего квадратического отклонения при доверительной вероятности 0.999.
8. Дана выборка значений случайной величины: 2.0 4.8 5.2 3.8 3.5 3.2 3.2 3.9 4.9 2.8 3.7 1.8 3.4 2.3 3.2 4.5 0.5 3.3 2.8 2.5 1.4 3.2 3.5 2.2 2.3 3.5 3.5 4.1 4.4 2.3 1.9 2.2 3.8 3.4 2.2 3.1 2.1 2.1 3.2 2.5 2.1 2.9 2.8 3.1 4.3 2.8 4.0 2.3 2.7 2.4 2.4 2.3 2.4 2.9 2.2 3.6 2.1 3.2 2.3 2.9 2.0 4.7 3.5 2.8 3.0 -0.2 3.6 3.1 3.3 1.4 2.6 2.6 1.8 4.3 1.8 0.7 4.6 3.0 1.9 3.7 3.2 2.6 2.6 4.2 2.9 2.3 5.4 3.3 3.1 2.8 2.7 2.7 1.8 2.8 4.6 2.7 1.4 3.9 3.7 2.5. Найти выборочное среднее.
9. Дана выборка значений случайной величины: 34.0 36.1 34.3 34.4 34.1 35.6 35.9 34.4 35.2 34.2 35.8 35.2 34.3 34.8 35.1 34.5 34.6 34.2 34.4 34.2 34.8 35.0 34.8 37.7 34.3 36.0 36.0 35.1 34.2 34.2 34.4 34.3 34.0 34.0 36.4 34.1 35.1 34.7 34.1 34.1 34.2 34.2 34.6 35.0 36.5 34.1 34.4 34.2 34.6 35.0 34.1 35.0 34.6 34.3 34.3 34.3 34.1 36.5 34.2 34.8 34.5 34.8 34.1 36.2 34.0 34.2 34.7 35.8 35.1 35.3 34.4 35.2 35.9 35.7 34.7 34.9 35.0 35.8 35.1 35.5 34.8 34.8 36.4 34.9 34.5 34.5 34.6 34.4 35.0 34.1 35.2 34.6 34.3 34.9 34.1 34.2 35.1 37.5 35.1 34.0. Найти выборочную дисперсию.
10. Дана выборка значений двумерной случайной величины: X 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0. У 16.9 19.5 24.5 31.0 35.2 41.3 48.2 57.0 64.6 72.3. Используя метод наименьших квадратов, выбрать наилучший вид зависимости У ~f(ax + найти оценку параметров а и Ь.
11. Дана выборка значений нормально распределенной случайной величины со средним квадратическим отклонением <7 = 9: 38.3 26.1 10.5 26.9 25.4 12.1 12.3 15.1 14.0 21.6 23.5 13.0 21.4 24.1 26.6 25.8 12.7 15.2 32.9 22.1 25.7 13.6 27.8 22.8 10.1 27.8 23.8 19.8 24.7 29.2 24.4 5.6 19.4 30.1 15.3 8.4 14.2 22.8 30.8 36.2 22.0 20.5 14.1 18.6 14.7 24.1 26.9 26.2 8.8 22.5 26.3 37.0 37.3 25.1 17.4 37.1 29.6 27.9 30.1 6.2 20.8 27.0 19.2 20.9 28.0 22.2 12.7 15.5 19.6 24.5 24.2 35.4 34.7 25.1 14.1 19.6 40.8 18.4 30.1 26.1 43.0 40.3 27.4 20.1 29.2 25.0 31.5 34.7 5.1 24.6 8.1 33.7 32.2 10.3 29.0 12.6 26.0 28.4 11.1 33.4. Найти доверительный интервал для математического ожидания при доверительной вероятности 0,99.
Пример Домашнее задание Раздел 4:
1. Проведено 100 независимых испытаний, и относительная частота появления события А оказалась равной 0,14. Проверить при уровне значимости сс = о,05 нулевую гипотезу "о'- Р= 0,2 при конкурирующей гипотезе ' Р ^ в ответе указать значение ^набяи сделать вывод о принятии или отклонении нулевой гипотезы.
2. В серии из 500 независимых испытаний событие А появилось 391 раз. в серии из 700 испытаний - 523 раза. При уровне значимости сс = 0,04 проверить нулевую гипотезу "<>'• Р\ Рг (о равенстве двух вероятностей биномиальных распределений) при конкурирующей гипотезе ' & ^ Р2' В ответе указать значение ^нао.* и сделать вывод о принятии или отклонении нулевой гипотезы.
3. По выборке из 64 значений нормально распределенной случайной величины с дисперсией, равной 1600. найдено выборочное среднее Хв 1^6,5. ПрИ ур0Вне значим0Сти сс = о,01 проверить нулевую гипотезу Нп\ М(Х)= 130 при конкурирующей гипотезе ЩХ) > 130. в ответе указать значение ^ыаб.ч и сделать вывод о принятии или отклонении нулевой гипотезы.
5. Имеются независимые выборки значений нормально распределенных случайных величин: 39.5 53.9 59.0 29.8 73.9 42.7 40.5 47.0 45.3 59.1 и 61.4 50.3 78.7 16.6 77.0 34.3 101.6 21.9 40.1 130.9. Проверить при уровне значимости & = о,1 нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. В ответе указать значение Рнаба и сделать вывод о принятии или отклонении нулевой гипотезы.
6. Дана выборка значений непрерывной случайной величины: 12.3 19.9 17.4 9.7 14.7 18.6 23.8 14.1 17.6 17.6 9.6 12.4 6.4 10.3 13.3 26.3 15.0 11.1 14.7 32.0 10.0 29.4 11.7 31.0 23.2 19.9 28.4 12.9 8.6 23.1 22.7 23.2 7.2 11.3 22.0 17.6 26.9 12.6 13.2 16.1 8.0 27.8 16.3 0.5 14.5 16.5 19.6 10.3 26.7 20.6 30.3 30.5 25.1 7.8 15.6 17.8 18.3 5.5 33.3 19.6 19.3 0.8 17.2 19.6 7.0 18.9 26.7 26.4 14.9 13.0 26.1 18.5 3.0 3.7 18.8 25.4 16.9 15.1 16.1 4.7 9.7 33.7 35.3 31.4 5.6 21.6 23.1 26.2 26.9 4.5 16.3 18.4-3.1 30.7 22.2 1.4 13.1 9.6 24.9-7.5. Проверить при уровне значимости сс = 0,05 гипотезу о нормальном распределении рассматриваемой случайной величины. В ответе привести наблюдаемое значение критерия Пирсона и сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы.
7. По данным двух выборок: Выборка 1: 63 28 92 36 90 40 7 75 53 12 14 30 17 93 86 64. Выборка 2: 58 31 4 60 30 92 59 27 82 56 52 95 54 8 49 36. Вычислить коэффициент ранговой корреляции Кендалла.
8. По данным выборки двумерной случайной величины: ( 51.2,-104.1) ( 58.0,-118.4) ( 55.1,-111.9) ( 52.7,-107.1) ( 52.2,-106.7) ( 62.6,-127.7) ( 27.0, -56.4) ( 52.0,-105.9) ( 41.5, -85.4) ( 52.7,-107.6) ( 49.9,-101.9) ( 44.3, -91.3) ( 56.1,-114.9) ( 36.0, -74.3) и уровню значимости С/, = о,08 проверить гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции. В ответе указать наблюдаемое значение критерия
Т - 1>юо. 1 и сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы.
9. По данным двух выборок: Выборка 1: 96 66 57 67 34 53 79 39 25 . Выборка 2: 92 89 47 15 13 73 75 22 3. Проверить гипотезу о значимости выборочного рангового коэффициента Спирмена при уровне
(т.,) значимости с/,- о,1. В ответе указать наблюдаемое значение критерия v к;>'с" и сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы.
10. Имеются независимые выборки значений нормально распределенных случайных величин: 139.3 31.2 131.2 112.1 54.0 77.3 24.9 106.0 96.4 22.2 92.8 111.0 49.6 61.3 95.9 52.1 124.0 57.8 99.5 71.0 79.3 99.6 133.9 1.7 122.0 41.3 27.0 -6.7 27.8 60.8 78.6 171.0 78.4 56.7 50.0 46.3 91.6 151.7 115.4 21.9 42.8 78.0 114.9 91.2 107.8 100.9 97.0 52.3 34.4 49.1 111.6 77.4 1.2 28.0 55.7 58.0 55.1 41.5 97.1 81.9 48.3 113.9 33.3 41.5 50.2 148.5 45.0 98.3 7.9 75.3 67.3 106.5 65.9 104.4 17.1 63.9 108.5 58.6 33.0 115.5 -13.3 60.3 71.1 56.3 34.9 61.5 65.2 71.8 87.4 57.8 63.1 56.9 126.0 90.9 70.6 132.5 86.3 108.2 82.0 56.4 (С дисперсией 1444) И 116.0 65.5 115.1 89.5 62.7 92.7 63.9 71.8 73.7 70.1 88.6 81.5 70.5 102.8 76.8 83.2 105.0 88.5 85.5 105.6 54.6 85.5 60.1 76.8 47.8 48.3 119.7 109.4 42.6 46.1 43.0 53.1 86.3 65.4 61.0 21.1 59.7
11. Дана выборка значений непрерывной случайной величины: 16.9 7.6 -8.4 4.2 14.3 12.4 6.7 17.5 1.1 15.4 15.1 4.2 -0.4 13.1 13.5 16.0 27.3 11.7 11.7 8.7 11.9 18.0 -8.0 16.0 14.7 10.8 2.5 0.4 8.0 10.8 16.3 12.9 12.0 9.6 9.9 6.7 3.4 11.0 20.4 18.4 6.1 16.3 3.8 15.7 22.9 7.9 20.5 12.5 11.8 15.9 5.6 16.3 15.7 7.2 15.8 9.5 13.3 5.7 15.5 18.3 15.0 9.0 6.0 7.4 11.0 24.0 9.9 8.2 12.9 4.3 20.5 2.5 10.5 12.4 8.7 12.1 3.1 -1.5 8.6 14.9 16.6 19.5 13.9 13.8 14.7 -0.7 16.4 6.7 16.5 11.6 13.2 15.2 17.4 13.3 11.4 10.0 9.6 16.5 20.5 7.5. Проверить при уровне значимости Ct- = 0,01 гипотезу о показательном распределении рассматриваемой случайной величины. В ответе привести наблюдаемое значение критерия Пирсона и сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы.
12. Дана выборка значений непрерывной случайной величины: 29.6 41.5 35.4 37.0 43.8 45.6 25.6 45.4 46.1 43.1 40.9 26.8 36.2 27.8 46.1 43.2 30.1 26.1 41.7 35.5 35.9 42.7 35.1 38.8 28.9 38.0 43.5 31.9 27.3 26.9 36.5 39.7 34.4 29.0 32.4 32.9 37.0 32.5 29.4 35.9 47.9 24.8 38.1 27.4 24.7 28.1 28.4 42.7 42.5 39.1 26.3 29.5 48.4 30.5 28.1 28.3 26.8 28.3 41.0 45.0 47.1 30.7 25.6 32.0 47.0 26.9 44.6 27.7 35.7 46.5 30.6 31.0 32.5 41.5 40.9 43.9 45.1 23.7 28.2 37.5 30.6 24.5 25.0 27.1 45.0 38.1 41.4 29.3 38.0 44.4 46.2 36.7 26.2 45.2 40.8 39.4 37.0 39.8 23.9 38.2. Проверить при уровне значимости а = 0,025 гипотезу о равномерном распределении рассматриваемой случайной величины. В ответе привести наблюдаемое значение критерия Пирсона и сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы.
13. Цифры 0,1,2,...,9 среди 800 первых десятичных знаков числа 71 появлялись соответственно 74,92,83,79,80,73,77,75,76,91 раз. Проверить с помощью критерия Колмогорова при уровне значимости сс = 0,1 гипотезу о согласии этих данных с равномерным законом распределения, считая, что вероятность появления любой цифры на месте любого десятичного знака равна 0,1. В ответе привести
наблюдаемое значение и сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы.
14. Для выборки двумерной случайной величины: ( 41.2,116.5) (48.1, 124.6) ( 53.2,153.9) ( 39.1, 99.0) ( 50.2, 191.6) ( 39.0, 94.9) ( 39.4, 100.2) ( 50.2,178.6) ( 48.3,118.7) ( 39.6, 117.0) ( 41.3, 81.7) ( 35.2, 88.0) ( 47.9, 159.4) ( 34.6, 124.4) ( 33.2, 103.4) (35.7, 94.9) ( 36.8, 90.8) ( 50.8, 180.5) ( 44.5, 152.0) ( 46.3, 167.6) ( 34.8. 84.6) ( 39.2, 124.5) ( 36.8, 131.7) ( 46.0, 99.8) ( 40.4, 144.8) ( 41.5, 120.6) ( 44.5, 109.7) ( 38.9. 93.5) ( 49.8, 136.8) ( 45.6, 107.6) ( 33.0, 102.9) (47.6, 102.9) (32.5, 116.7) ( 42.0, 134.0) ( 54.1, 157.9) ( 35.4, 109.1) ( 37.9, 92.4) ( 38.6, 120.7) ( 35.6, 96.1) ( 33.6, 73.2) ( 27.7, 61.5) ( 47.1, 95.0) ( 29.9, 82.8) ( 50.1, 110.5). Вычислить выборочный коэффициент корреляции.
15. Для выборки двумерной случайной величины: ( 50.0, -92.8) ( 27.4, -49.5) ( 47.7,-105.8) ( 35.1, -67.0) ( 30.5, -55.7) ( 39.5, -67.3) ( 54.8, -89.1) ( 57.3,-134.2) (43.0,-109.1) ( 43.7, -68.7) ( 34.6, -74.6) ( 47.2,-105.6) ( 42.4,-106.2) ( 57.6,-164.1) ( 38.8, -59.7) ( 37.3, -81.7) (35.5, -67.2) ( 41.9,-119.3) ( 23.0, -64.2) ( 45.3, -96.5) ( 51.5,-148.9) ( 50.9,-118.5) (58.6,-151.8) ( 33.6, -65.7) ( 31.2, -83.0) ( 35.3, -68.9) ( 49.8. -87.0) ( 38.5, -58.9) ( 32.9, -71.8) ( 54.4,-103.4) ( 39.3, -58.7) ( 46.0,-107.7) ( 25.0, -43.4) ( 31.6, -70.0) ( 29.0, -76.4) ( 27.4, -56.9) ( 46.4,-111.0) ( 35.0, -71.5) ( 39.5,-104.4) ( 27.1, -47.6) составить выборочное уравнение прямой линии регрессии У на X.
16. Произведено по 5 испытаний на каждом из четырех уровней фактора F. Результаты испытаний приведены в таблице: Методом
дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних (математических ожиданий генеральных совокупностей), предполагая, что
генеральные дисперсии равны. В ответе указать значение ^набл и сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы.
