Ответы на государственный экзамен по Модулю 2 "Теоретические основы современного русского языка и теоретические основы математики". Вопросы только с 13 по 25.

Ответы на государственный экзамен по Модулю 2 "Теоретические основы современного русского языка и теоретические основы математики". Вопросы только с 13 по 25.

13. Математические понятия. Объем и содержание понятия. Определение понятий. Система геометрических понятий в начальной математике.
Что значит составить понятие об объекте. Особенности математических понятий. Существенные и несущественные свойства объекта. Объем и содержание понятия, их взаимосвязь. Родовое и видовое понятия. Отношение рода и вида между понятиями и его свойства. Определение понятия (термина). Структура определения понятия, правила формулировки определений. Последовательность действий при построении определения понятия. Группы математических понятий, изучаемые в начальном курсе математики Геометрические понятия.

14. Высказывания и высказывательные формы. Операции над высказываниями и высказывательными формами. Высказывания с кванторами.
Определение высказывания. Определение одноместной высказывательной формы. Множество истинности высказывательной формы. Элементарные и составные математические предложения, логические связки. Выявление логической структуры составного математического предложения. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний и высказывательных форм, установление истинности таких высказываний. Высказывания с кванторами общности и существования, установление истинности таких высказываний. Отрицание высказываний и высказывательных форм, установление истинности таких высказываний.

15. Теорема, ее структура. Виды теорем. Необходимые и достаточные условия.
Определение теоремы, ее структура. Другие виды предложений (правила и формулы), используемые в математике. Предложение обратное данному, его логическая структура. Предложение противоположное данному, его логическая структура. Предложение обратно противоположное данному, его логическая структура. Отношение следования между предложениями, логическая структура. Различные формулировки таких предложений (необходимые и достаточные условия). Отношение равносильности между предложениями, логическая структура. Различные формулировки таких предложений (необходимые и достаточные условия).

16. Соответствия между двумя множествами, способы их задания. Взаимно однозначные соответствия. Числовые функции и их свойства. Способы задания функций. Определение соответствия между двумя множествами. Способы задания соответствий. Определение соответствия обратного данному. Свойство графиков взаимно обратных соответствий. Определение взаимно однозначного соответствия. Определение равномощных множеств. Определение числовой функции. Область определение и множество значений функции. Способы задания функции. Определение монотонности функции на промежутке, возрастающей функции, убывающей функции. Определение знакопостоянства функции на промежутке, нулей функции. Прямая пропорциональность и ее свойства. Обратная пропорциональность и ее свойства.

17. Отношения на множестве, их свойства. Отношения эквивалентности и порядка, упорядоченность множества. Определение бинарного отношения на множестве. Понятие отношения обратного данному. Способы задания отношений на множестве. Требования к графическому способу задания отношения на множестве. Свойство рефлексивности отношения и особенности его графа. Свойство симметричности отношения и особенности его графа. Свойство антисимметричности отношения и особенности его графа. Свойство транзитивности отношения и особенности его графа. Свойство связанности отношения и особенности его графа. Отношение эквивалентности и его свойство. Три положения принципа разбиения множества на классы при помощи некоторого отношения эквивалентности. Отношение порядка, линейного порядка. Определение упорядоченного множества.

18. Числовые выражения. Числовые равенства и неравенства. Свойства истинных числовых равенств и неравенств. Понятие числового выражения, значения числового выражения, значения, не имеющего смысл. Понятие выражения с переменной. Определение числового выражения. Определение тождественно равных выражений. Тождественное преобразование выражений на множестве. Понятие числового равенства, истинного числового равенства. Свойства истинных числовых равенств. Понятие числового неравенства, значения его истинности. Свойства числовых неравенств.

19. Выражения с переменной. Уравнения с одной переменной. Неравенства с одной переменной. Определение уравнения с одной переменной, корня уравнения. Что значит - «решить уравнение»? Определение равносильных уравнений, равносильного преобразования. Теоремы о равносильности двух уравнений и следствия из них. Определение неравенства с одной переменной, решения неравенства. Что значит - «решить неравенство»? Определение равносильных неравенств. Теоремы о равносильности двух неравенств и следствия из них.

20. Определение натурального числа в аксиоматической теории. Количественные натуральные числа. Счет. Аксиоматический способ построений системы натуральных чисел. Определение непротиворечивой (и независимой) системы аксиом. Основные понятия системы натуральных чисел при аксиоматическом построении теории. Основные аксиомы теории натуральных чисел. Определение натурального числа. Необходимость выполнения каждой из аксиом Пеано. Определение отрезка натурального ряда и его свойства. Определение конечного множества и его свойство. Определение количественного натурального числа. Определение счета.

21. Понятие величины и ее измерения. Единицы величин. Свойства положительных скалярных величин, правила действий над ними. Понятие однородных величин. Основные свойства однородных величин. Единица измерения величины. Что значит - «измерить величину»? Определение численного значения величины (меры величины). Определение скалярной величины (положительной скалярной величины). Свойства (правила), описывающие переход от сравнения величин к сравнению чисел, от действия над величинами к действиям над числами. Смысл суммы и разности натуральных чисел (произведения и частного натуральных чисел), полученных в результате измерения величины.

22. Отношение делимости на множестве натуральных чисел, его свойства, основные теоремы о делимости. Определение отношения делимости на множестве натуральных чисел. Понятие делителя натурального числа, кратного натурального числа. Теорема о конечности делителей данного числа. Определение простого числа (составного числа). Теоремы, описывающие свойства рефлексивности, антисимметричности и транзитивности отношения делимости на множестве натуральных чисел. Признак делимости суммы. Признак делимости разности. Признак делимости произведения. Три теоремы, связанные с делимостью суммы и произведения, которые часто используются при решении задач на делимость.

23. Треугольник. Элементы треугольника. Виды треугольников и их свойства. Площадь треугольника. Определение треугольника (плоского треугольника). Элементы треугольника и их свойства (высота, медиана, биссектриса, средняя линия). Определение равных треугольников. Три признака равенства треугольников. Важные свойства треугольника. Определение равнобедренного треугольника и его свойства. Определение прямоугольного треугольника и его свойства.

24. Понятие многоугольника. Четырехугольники, их виды и свойства. Площади различных четырехугольников. Определение многоугольника (плоского многоугольника). Выпуклые и невыпуклые многоугольники. Определение правильного многоугольника. Определение угла выпуклого многоугольника. Свойство углов выпуклого многоугольника. Понятие многоугольной фигуры. Определение четырехугольника, его элементов. Виды четырехугольника и их свойства (параллелограмм, трапеция, прямоугольник, ромб, квадрат). Площади различных четырехугольников.

25. Многогранники и их виды. Тела вращения.
Определение многогранника. Определение выпуклого многогранника, его элементов. Определение призмы. Определение прямой (правильной) призмы. Определение параллелепипеда (прямоугольного параллелепипеда, куба). Правила изображения призмы на плоскости. Определение пирамиды (правильной пирамиды). Правила изображения пирамиды на плоскости. Свойство многогранников, установленное Эйлером. Тела вращения (шар, сфера, цилиндр, конус), их элементы и правила изображения на плоскости.